（1）四边形EFGH是菱形．（2分）
（2）成立．（3分）
理由：连接AD，BC．（4分）
∵∠APC=∠BPD，
∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD．
即∠APD=∠CPB．
又∵PA=PC，PD=PB，
∴△APD≌△CPB（SAS）
∴AD=CB．（6分）
∵E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，
∴EF、FG、GH、EH分别是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位线．
∴EF=

1

2

BC，FG=

1

2

AD，GH=

1

2

BC，EH=

1

2

AD．
∴EF=FG=GH=EH．
∴四边形EFGH是菱形．（7分）
（3）补全图形，如答图．（8分）
判断四边形EFGH是正方形．（9分）
理由：连接AD，BC．
∵（2）中已证△APD≌△CPB．
∴∠PAD=∠PCB．
∵∠APC=90°，
∴∠PAD+∠1=90°．
又∵∠1=∠2．
∴∠PCB+∠2=90°．
∴∠3=90°．（11分）
∵（2）中已证GH，EH分别是△BCD，△ACD的中位线，
∴GH∥BC，EH∥AD．
∴∠EHG=90°．
又∵（2）中已证四边形EFGH是菱形，
∴菱形EFGH是正方形．（12分）