∵圆C₁：x²+y²+2x-6y=0的半径r=

1

2

4+36

=

10

，
线段AB是圆C₁：x²+y²+2x-6y=0的一条直径，
离心率为

5

的双曲线C₂以A，B为焦点，
∴双曲线C₂的焦距2c=|AB|=2

10

，
∵P是圆C₁与双曲线C₂的一个公共点，
∴||PA|-|PB||=2a，|PA|²+|PB|²=40，
∴|PA|²+|PB|²-2|PA||PB|=4a²，
∵c=

10

，e=

c

a

=

5

，
∴a=

2

，
∴2|PA||PB|=32，
∴∴|PA|²+|PB|²+2|PA||PB|=（|PA|+|PB|）²=72，
∴|PA|+|PB|=6

2

．
故选D．