证明：（1）连B₁D₁，B₁D₁⊥A₁C₁，又DD₁⊥面A₁B₁C₁D₁，
所以DD₁⊥A₁C₁，A₁C₁⊥面D₁DB₁，因此A₁C₁⊥B₁D．
同理可证B₁D⊥A₁B，所以B₁D⊥平面A₁C₁B．（6分）
（2）连A₁H，BH，C₁H，由A₁B₁=BB₁=C₁B₁，得A₁H=BH=C₁H，因此点H为△A₁BC₁的外心．
又△A₁BC₁为正三角形，所以H是△A₁BC₁的中心，
也是△A₁BC₁的重心．（12分）