A、B球运动到最低点，A球运动到最高点，两个球系统机械能守恒，故A球增加的机械能等于B球减少的机械能，故A正确；
B、A球重力势能增加mg•2R，B球重力势能减小2m•2R，故B错误；
C、两个球系统机械能守恒，当B球运动到最低点时，速度最大，有
2mg•2R-mg•2R=

1

2

（m+2m）v²
解得
v=

4 3 gR

故C错误；
D、除重力外其余力做的功等于机械能的增加量，故细杆对A球做的功等于A球动能的增加量，有
W=

1

2

mv2+mg•2R=

2

3

mgR+2mgR=

8

3

mgR
故D正确；
故选AD．