假设f（x）存在两个极限,分别为a和b,不妨设a＜b.则对ε0=（b-a）/2＞0,存在正数δ1,当0＜|x-x0|＜δ1时,有|f（x）-a|＜ε0=（b-a）/2,从而f（x）＜（a+b）/2；同理存在δ2,当0＜|x-x0|＜δ2时,有|f（x）-b|＜ε0=（b-a）/2,从而f（x）＞（a+b）/2.取δ=min{δ1,δ2},则当0＜|x-x0|＜δ时,f（x）＜（a+b）/2和f（x）＞（a+b）/2同时成立,这是不可能的.所以若f(x)极限存在,则极限值唯一.