首先1+tan²x=1/cos²x,
所以∫√1+tan²xdx=∫1/cosx dx
而∫1/cosxdx
=∫ cosx/cos²xdx
=∫ 1/(1-sin²x) d(sinx)
=(1/2)∫ [1/(1+sinx)+1/(1-sinx)] d(sinx)
=(1/2) [ln(1+sinx)-ln(1-sinx)] + C
=ln √[(1+sinx)/(1-sinx)] + C
=ln √(1+sinx)²/√(1-sin²x) + C
=ln |(1+sinx)/cosx| + C
=ln |tanx+secx| + C （C为任意常数）
于是
∫√1+tan²xdx=ln |tanx+secx| + C