设等比数列{an}满足公比q∈N*，an∈N*，且{an}中的任意两项之积也是该数列中的一项，若a1=281，则q的所有可能取值的_数学解答

设等比数列{a_n}满足公比q∈N^*，a_n∈N^*，且{a_n}中的任意两项之积也是该数列中的一项，若a₁=2⁸¹，则q的所有可能取值的集合为______．

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解答

由题意，an=281qn-1，设该数列中的任意两项为am，at，它们的积为ap，则为am•at=ap，即281qm-1•281qt-1=281•qp-1，（q，m，t，p∈N*），∴q=281p−m−t+1，故p-m-t+1必是81的正约数，即p-m-t+1的可能取值为1，3，9...