令二项式定理中的a=1,b=1,即得所证.
(1+1)^n=1^n+1^n-1 ×1 C(1,n）+1^n-2×1^2 ×C(2,n)+.+1^0×1^n×C（n,n）=C（0,n）+C（1,n）+C（2,n）+.+C（n,n）=（1+1）^n=2^n
或者假设有n个苹果,要求你有多少种吃法.n个苹果你一个都不吃有C(0,n）种吃法,只吃一个你有C（1,n）种吃法,只吃2个你有C（2,n）种吃法.,全都吃你有C（n,n）种吃法,总共加起来你有C（0,n）+C（1,n）+C（2,n）+.+C（n,n）种吃法.对于每个苹果你有两种吃法（吃 与 不吃）,即两种可能,n个苹果就有2×2×.×2=2^n.种可能,.跟上面求的要一样,所以C（0,n）+C（1,n）+C（2,n）+.+C（n,n）=2^n