the一般用于名词之前,表示特指某个东西/人/事件,在first price前面不加the的原因是后面的contest——比赛已经加了the,作者已经特别指明了是这场比赛（the contest）,所以前面first price就不需要特地加上去,这个比赛反正就只有一个一等奖,就不需要特地申明.
P.S：
嘛,如果后面没有特别指定是这个比赛,那first price之前就要加了：we tried our best and won the first price.
希望以上答案能够帮到您.