（1）由解析式可知，点A的坐标为（0，4）．（1分）
∵S_△OAB=

1

2

×BO×4=6
BO=3．所以B（3，0）或（-3，0），
∵二次函数与x轴的负半轴交于点B，
∴点B的坐标为（-3，0）；（2分）
（2）把点B的坐标（-3，0）代入y=-x²+（k-1）x+4，
得-（-3）²+（k-1）×（-3）+4=0．
解得k-1=-

5

3

．（4分）
∴所求二次函数的解析式为y=-x²-

5

3

x+4．（5分）
（3）因为△ABP是等腰三角形，
所以：①如图1，当AB=AP时，点P的坐标为（3，0）（6分）
②如图2，当AB=BP时，点P的坐标为（2，0）或（-8，0）（8分）
③如图，3，当AP=BP时，设点P的坐标为（x，0）根据题意，得

x2+42

=|x+3|．
解得x=

7

6

．
∴点P的坐标为（

7

6

，0）（10分）
综上所述，点P的坐标为（3，0），（2，0），（-8，0），（

7

6

，0）．