（1）∵抛物线L过（0,4）和（4,4）两点,由抛物线的对称性知对称轴为x=2,
∴G（2,0）,
将（2,0）、（4,4）代入y=ax2+bx+4,
得 {4a+2b+4=016a+4b+4=4,
解得 {a=1b=-4,
∴抛物线L的解析式为y=x2-4x+4．
（2）∵直线 y=3x+3分别交x轴、y轴于B、A两点,
∴A（0,3）,B（- 3,0）．
若抛物线L上存在满足的点C,则AC∥BG,
∴C点纵坐标此为3,
设C（m,3）,
又∵C在抛物线L,代入解析式：（m-2）2=3,
∴m=2± 3．
当m=2+ 3时,BG=2+ 3,AG=2+ 3,
∴BG∥AG且BG=AG,
此时四边形ABGC是平行四边形,舍去m=2+ 3,
当m=2- 3时,BG=2- 3,AG=2- 3,
∴BG∥AG且BG≠AG,
此时四边形ABGC是梯形．
故存在这样的点C,使得四边形ABGC是以BG为底边的梯形,其坐标为：
C（2- 3,3）．
（3）假设抛物线L_1是存在的,且对应的函数关系式为y=（x-n）2,
∴顶点P（n,0）．
Rt△ABO中,AO=3,BO= 3,
可得∠ABO=60°,
又∵△ABD≌△ABP．
∴∠ABD=60°,BD=BP= 3+n．
如图,过D作DN⊥x轴于N点,
Rt△BND中,BD= 3+n,∠DBN=60°,
∴DN= 32（ 3+n）,BN= 3+n2,
∴D（- 3- 3+n2,3+3n2）,
即D（ -33+n2,3+3n2）,
又∵D点在抛物线y=（x-n）2上,
∴ 3+3n2=（- 33+n2-n）2,
整理：9n2+16 3+21=0．
解得n=- 3,n=- 739,当n=- 3时,P与B重合,不能构成三角形,舍去,
∴当n=- 739时,此时抛物线为y=（x+ 739）2．