已知椭圆G:x2/4+y2=1,过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A,B两点
(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率.
(2)将lABl表示为m的函数,并求出lABl的最大值.
人气:331 ℃ 时间:2020-04-16 19:04:00
解答
解(1)椭圆G的焦点坐标为(±√3,0),c=√3,a=2,∴e=c/a=√3/2
(2)设直线AB的方程为y=k(x-m).
由直线AB与圆x²+y²=1相切可知,圆心到直线的距离d=|km|/√k²+1=1
化简得k²m²=k²+1
将直线方程y=k(x-m)代入椭圆方程x²/4+y²=1消y得(4k²+1)x²-8k²mx+4k²m²-4=0
设点A(x1,y1)B(x2,y2),则x1+x2=8k²m/(4k²+1),x1x2=(4k²m²-4)/(4k²+1)
|AB|=√(k²+1)|x1-x2|=√(k²+1)√(x1+x2)²-4x1x2=4√3|m|/(m²+3)
=4√3/(|m|+3/|m|)
≤4√3/(2√3)=2
当且仅当|m|=3/|m|,即|m|=√3,m=±√3时,取等号
当直线AB与X轴垂直,切点为(±1,0),将x=±1代入椭圆方程求得y=±√3/2
∴此时|AB|=√3<2
综上,m=±√3,有|AB|最大值2.
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