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数学
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已知圆系方程x
2
+y
2
+2kx+(4k+10)y+5k
2
+20k=0(k∈R),是否存在斜率为2的直线l被圆系方程表示的任意一圆截得的弦长是定值
4
5
?如果存在,试求直线l的方程;如果不存在,请说明理由.
人气:199 ℃ 时间:2020-06-24 05:19:30
解答
(本小题满分14分)
假设存在满足条件的直线方程为y=2x+m,
圆的方程配方可得:(x+k)
2
+(y+2k+5)
2
=25.
所以圆心到直线的距离d=
1
5
|−2k+2k+5+m|=
|5+m|
5
,
由垂径定理可得:
(
|5+m|
5
)
2
=
5
2
−(2
5
)
2
,
解得m=0或m=-10,
故存在满足条件的直线方程,方程为y=2x或y=2x-10.
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