设甲买了x件，乙买了y件，根据题意可得方程：3x-5y=19，且x＞10，0＜y≤10，
方程可以变形为：x=

19+5y

3

，因为0＜y≤10，且x＞10，
所以当y=1时，x=8，不符合题意；
当y=2，3时，x无整数解；
当y=4时，x=13，符合题意；
答：甲至少买了13件．
故答案为：13．