在这个句子中,they是主语,did是谓语,everything是宾语,they could是定语从句,定的是everything ,就是他们能做的任何事,to save the worker's life是动词不定式做目的状语.
首先动词不定式可以做除了谓语的一切成分,其次你的判断失误应该是因为句子的成分没有划分好.我们看你认为是宾语的原因所在：你定然是认为to do 是could的宾语对么,但有一点需要注意的是could后面应该加动词原型的,从此我们可以看出,they could 这个从句已然结束,to do不定式应该是主句中的成分.那么我们不看从句单看主句,就是They did everything to save the worker's life.这样一来是不是明确了很多呢,主谓宾在一开始就很明确地给了出来,后面的to do 就是他们做的目的了,所以to do 不定式做的是目的壮语.
问题补充：i am very pleased to have made friends with you.
这个句子呢,是一个主系表结构,系动词及感官动词后面的不定式通常为说明原因的原因壮语,使说明主语此时处于这种状态（系动词）,或感受到这种感觉（感官动词）的原因,所以是原因壮语从句.
如果以后还遇到这种从句的话,可以试试划分主干法来分析,就是把从句等等附属的东西盖住不看,等主干弄明白了,在一个个拿出来看是谁的附属成分,这样就不怕长长的而又麻烦的句子了.