（1）∵定义域为R的函数f（x）=

−2x+b

2x+1+2

是奇函数．
∴f（0）=

−1+b

4

=0，解得b=1．
（2）由（1）可得：f（x）=

−2x+1

2x+1+2

=

1

2x+1

−

1

2

．
∀x₁＜x₂，则2x2＞2x1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=

1

2x1+1

−

1

2

−(

1

2x2+1

−

1

2

)=

2x2−2x1

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴函数f（x）在R上是减函数．
（3）∵函数f（x）是R上的奇函数，对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，
∴f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
∵函数f（x）在R上是减函数，
∴t²-2t＞k-2t²，
∴k＜3t²-2t=3(t−

1

3

)2−

1

3

，任意的t∈R恒成立．
∴k＜−

1

3

．
因此k的取值范围是k＜−

1

3

．