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数学
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在抛物线y
2
=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称,求k的取值范围.
人气:385 ℃ 时间:2020-05-20 09:51:26
解答
设B、C关于直线y=kx+3对称,故可设直线BC方程为x=-ky+m,代入y
2
=4x,得 y
2
+4ky-4m=0.
设B(x
1
,y
1
)、C(x
2
,y
2
),则 BC中点M(x
0
,y
0
),则y
0
=
y
1
+
y
2
2
=-2k,x
0
=2k
2
+m.
∵点M(x
0
,y
0
)在直线l上,∴-2k=k(2k
2
+m)+3,∴m=-
2
k
3
+2k+3
k
.
又∵BC与抛物线交于不同两点,∴△=16k
2
+16m>0.
把m代入化简得
k
3
+2k+3
k
<0,即
(k+1)(
k
2
−k+3)
k
<0,解得-1<k<0.
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