因为 f′（x₀）=0，无法从导数的符号判断函数的单调性，故排除C、D．
由于y=f（x）是微分方程y″-2y′+4y=0的一个解，故有 f″（x）-2f′（x）+4f（x）=0．
因为 f（x₀）＞0，f′（x₀）=0，故 f″（x₀）=2f′（x₀）-4f（x₀）=-4f（x₀）＜0．
从而，f′（x₀）=0 且  f″（x₀）＜0．
由一元函数的极值判定定理可得，f（x）在x₀处取得极大值．
故选：A．