线性代数矩阵及其运算设X是n X 1的矩阵,且X^T X=1,证明：S=I-2XX^T是对称矩阵,且S^2=IX^T表示矩阵X的转_数学解答

线性代数矩阵及其运算
设X是n X 1的矩阵,且X^T X=1,证明：S=I-2XX^T是对称矩阵,且S^2=I
X^T表示矩阵X的转置

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解答

证明：
S=I-2XX^T
S^T=(I-2XX^T)^T=I^T-2(XX^T)^T=I-2XX^T
∴S=S^T,即S是对称矩阵.
S^2=(I-2XX^T)(I-2XX^T)
=I-2XX^T-2XX^T+4(XX^T)(XX^T)
=I-4XX^T+4X(X^TX)X^T
=I-4XX^T+4XX^T
=I
S^2=I