第一次操作后的浓度为
b1=[a*r%+(1/4)a*p%]/((5/4)a)=(4/5)r%+(1/5)p%
(倒出（1/4)a不影响省下溶液的浓度）；
第二次操作后的浓度为
b2=[a*b1+(1/4)a*p%]/((5/4)a)
以此类推
bn=[a*b(n-1)+(1/4)a*p%]/((5/4)a)
=(4/5)b(n-1)+(1/5)p%;即有
bn=(4/5)b(n-1)+(1/5)p%;
(4/5)b(n-1)=(4/5)^2*b(n-2)+(4/5)(1/5)p%;
(4/5)^2b(n-2)=(4/5)^3*b(n-3)+(4/5)^2(1/5)p%;
………………………………
(4/5)^(n-2)b2=(4/5)^(n-1)*b1+(4/5)^(n-2)(1/5)p%;
(4/5)^(n-1)b1=(4/5)^n*r%+(4/5)^(n-1)(1/5)p%;
将以上诸式左右相加,消去相同的项得到
bn=(4/5)^n*r%+(1/5)p%[1+(4/5)+(4/5)^2+…+(4/5)^(n-1)]
=(4/5)^n*r%+(1/5)p%[1-(4/5)^n]/(1/5)
=(4/5)^n*r%+p%[1-(4/5)^n]