（Ⅰ）设x₁＜x₂且x₁，x₂∈R，则x₂-x₁＞0，
由条件当x＞0时，f（x）＞0∴f（x₂-x₁）＞0．
又f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）＞f（x₁）
即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）为增函数，
（Ⅱ）令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）．
又令x=y=0得f（0）=0．
∴f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数．
∵f（-1）=-f（1）=-2，f（-2）=2f（-1）=-4，
∴f（x）在[-2，1]上的值域为[-4，2]．