缺了条件,焦点应该在x轴上.
（1）离心率e=c/a=√3/3=1/√3
∵ c=1,∴ a=√3
∴ b=√2
∴ 方程为x²/3+y²/2=1
（2）设 A(x1,y1),B(x2,y2)
将y=-x+1代入b²x²+a²y²=a²b²
∴b²x²+a²(1-x)²=a²b²
∴(a²+b²)x²-2a²x+a²(1-b²)=0
利用韦达定理
∴x1+x2=2a²/(a²+b²),x1*x2=a²(1-b²)/(a²+b²)
∴ y1y2=(-x1+1)*(-x2+1)=x1x2-(x1+x2)+1=[a²(1-b²)-2a²+a²+b²]/(a²+b²)
∴ y1y2=b²(1-a²)/(a²+b²)
∵OA,OB互相垂直
∴ x1x2+y1y2=0
∴ a²(1-b²)+b²(1-a²)=0
即 a²+b²=2a²b²
∴ a²+a²-c²=2a²(a²-c²)
∴ 2a²=(2a²-c²)/(a²-c²)
分式上下同时除以a²
∴ 2a²=(2-e²)/(1-e²)=1+1/(1-e²)
∵ e∈[1/2,(√2)/2]
∴ e²∈[1/4,1/2]
∴ 1-e²∈[1/2,3/4]
∴ 1/(1-e²)∈[4/3,2]
∴ 1+1/(1-e²)∈[7/3,3]
∴ 2a²的最大值为3
∴ a的最大值为√(3/2)=√6/2
∴ 长轴长的最大值为√6