1/（1+2）=2/2*3=2*(1/2-1/3)
1/（1+2+3）=2/3*4=2*(1/3-1/4)
……………………………………
1/（1+2+3+……+2002+2003)=2/2003*2004=2*(1/2003-1/2004)
所以1/（1+2）+1/（1+2++3）+……+1/（1+2+3+……+2002+2003)
=2*【1/2-1/3+1/3-1/4+……+1/2003-1/2004】
=2*【1/2-1/2004】
=1-1/1002
=1001/1002