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数学
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如图,已知AO是四面体ABCD的高,M是AO的中点,连接BM、CM、DM.求证:BM、CM、DM两两垂直.
人气:395 ℃ 时间:2019-09-16 21:10:53
解答
证明:∵AO是四面体ABCD的高,∴AO垂直于面ABCD.
连接OB,OC,OD,则AO分别垂直于OB,OC,OD.
设正四面体ABCD的边长为a,
则AB=BC=CD=DA=a,OB=OC=OD=
3
3
a
,
OA
2
=AD
2
-OD
2
,
OA=
6
a
3
,OM=
6
a
6
,
BM
2
=OM
2
+OB
2
,BM=CM=DM=
2
a
2
,
在三角形MBC中,MB
2
+MC
2
=BC
2
,符合勾股定理,
∴△MBC为直角三角形,且∠CMB=90°,
同理得出,∠CMD=∠DMB=∠BMC=90°,
∴BM,CM,DM两两垂直.
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