解；∵抛物线y=ax²+bx+c过原点
∴c=0
又抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为

1

3

即：

∫

10

(ax2+bx)dx＝

1

3

∴

1

3

a+

1

2

b＝

1

3

∴b＝

2

3

(1−a)
∴图形绕x轴旋转一周而围成的旋转体的体积
V=π

∫

10

(ax2+bx)2dx＝π•[

a2

5

x5+

ab

2

x4+

b2

3

x3

]

10

=π[

a2

5

+

ab

2

+

b2

3

]=π[

2

135

a2+

1

27

a+

4

27

]
∴V′(a)＝π•(

4

135

a+

1

27

)
令V′（a）=0，得：a＝−

5

4

又V″(a)＝

4π

135

＞0
∴a＝−

5

4

是V(a)的唯一极小值点
∴a＝−

5

4

是V(a)的最小值点
此时，解得：b＝

3

2

∴a＝−

5

4

，b＝

3

2

，c＝0