如图,在△ABC中,角C=90度,AC=BC,过点C在△ABC外作直线MN,AM⊥MN于M,BN⊥MN于N.①求证MN=AM+BN_数学解答

如图,在△ABC中,角C=90度,AC=BC,过点C在△ABC外作直线MN,AM⊥MN于M,BN⊥MN于N.①求证MN=AM+BN.
②如图,若过点C作直线MN与线段AB相交,AM⊥MN于M,BN⊥MN于N,①中的结论是否仍然成立?说明理由.

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解答

证明：(1)∵∠ACB=90°,∴∠ACM+∠BCN=90°
而∠AMC=90°,∴∠MAC=∠BCN,又AC=CB
∴直角△AMC≌直角△CNB =>CM=BN,CN=AM
即MN=MC+CN=BN+AM
(2)此时同样有∠ACM=90°-∠BCN=∠CBN
同样AC=BC,∴直角△ACM≌直角△CBN
=>AM=CN,BN=CM,∴此时有
MN=|CM-CN|=|BN-AM|,不再有(1)的结论