设有n层根号的那个数为an.
首先,{an}的每一项都小于2.
这可以用数学归纳法证明,很简单.略.
其次,如果an<2,那么a[n+1]>an.
这是因为(2+an)-an^2=-(an+1)(an-2)>0,所以a[n+1]^2>an^2.
因此这是个递增列.
因此,{an}是单调递增有上界的序列,因此存在极限.