令F(x)=ln(1+x)-(x-
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1 |
3 |
因为F′(x)=
1 |
1+x |
1−(1+x3) |
1+x |
x3 |
1+x |
所以F(x)在(0,+∞)上严格单调递减,
从而当x>0时,F(x)<F(0),即:
ln(1+x)<x-
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3 |
【解法2】利用泰勒公式进行证明.
对于任意x>0,利用泰勒公式可得,∃ξ∈(0,x),使得
ln(1+x)=x-
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4 |
从而,ln(1+x)<x-
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3 |
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1+x |
1−(1+x3) |
1+x |
x3 |
1+x |
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