高数下,若对于平面上任意简单闭曲线L,恒有∮yf(x)dx+[f(x)-x∧2]dy=0,f(0)=2,求f(x)若对于平面上任意_数学解答

高数下,若对于平面上任意简单闭曲线L,恒有∮yf(x)dx+[f(x)-x∧2]dy=0,f(0)=2,求f(x)
若对于平面上任意简单闭曲线L,恒有∮yf(x)dx+[f(x)-x∧2]dy=0,其中f(x)在（－∞,∞）内有连续的一阶导数,且f(0)=2,求f(x)

人气：225 ℃　时间：2020-04-03 01:11:51

解答

∮yf(x)dx+[f(x)-x∧2]dy=0
[yf(x)]'y=f(x)
[f(x)-x∧2]'x=f'(x)-2x
f'(x)-2x=f(x)
f'(x)=f(x)+2x
由一阶微分方程通解公式：
f(x)=Ce^x-2x-2
f(0)=2代入：C=4
f(x)=4e^x-2x-2