如图,在平面直角坐标系中,点C(-3,0),点A、B分别在x轴,y轴的正半轴上,且满足根号(O
如图,在平面直角坐标系中,点C(-3,0),点A、B分别在x轴,y轴的正半轴上,且满足根号(OB²-3)+绝对值(OA-1)=0.
(1)求点A、B坐标.
(2)若点P从点C出发,以每秒1个单位的速度沿射线CB运动,连接AP.设△ABP面积为S,点P的运动时间为t秒,求S与t的函数关系式,并写出自变量的取值范围.
(3)在(2)的条件下,是否存在点P,使以点A、B、P为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
人气:476 ℃ 时间:2020-06-06 21:40:03
解答
(1)因为√(OB^-3)+|OA-1|=0,所以有OB=√3,OA=1,因为A,B分别在x轴y轴正半轴上,所以有A(1,0),B(0,√3)
(2)可以求出BC=2√3,AB=2,而AC=1+3=4,可以得出ΔABC是直角三角形,∠ABC=90度
点P从C点出发,以每秒1个单位的速度沿射线CB运动,通过此条件可以得出:CP=t,且t∈[0,2√3]
S=SΔABP=PB*AB/2=(BC-PC)*2/2=2√3-t,其中t∈[0,2√3]
(3)若是存在P点使ΔABP相似于ΔAOB,那么由∠PBA=90度可以得出,PB,AB是ΔABP的两条直角边,且它们的比例应满足ΔAOB中两条直角边的比,而由于OA,OB是ΔAOB的两条直角边,它们互不相等,OB/0A=√3/1=√3,所以ΔPAB中的两条直角边PB,AB之比也应等于√3,只是无法确定它们谁长谁短而已,需分类讨论
若PB比AB长,那么有PB/AB=√3,则PB=√3*2=2√3,t=PC=BC-PB=2√3-2√3=0,可以看出,此种情况下P点与C点重合,P的坐标是(-3,0)
若AB比PB长,则有AB/PB=√3,PB=√3*2/3=2√3/3,t=2√3-2√3/3=4√3/3,满足t的取值范围,所以此点也存在
过B(0,√3)与C(-3,0)两点的直线方程可求出为y=√3x/3+√3,而P位于此上,且由几何关系可以得出yp=t/2=2√3/3,代入直线方程可得xp=-1
所以P坐标为(-1,2√3/3)
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