大学数学求证题,用柯西中值定理设函数y=f(x)在x=0的某邻域内具有n阶导数,且f（0）=f '（0）=f ''（0）=f ''_数学解答

大学数学求证题,用柯西中值定理
设函数y=f(x)在x=0的某邻域内具有n阶导数,且f（0）=f '（0）=f ''（0）=f '''（0）=f (4)（0）=……=f(n-1)（0）=0,证明：
f(x)/x^n=f(n)（βx）/n!,其中β∈(0,1)

人气：281 ℃　时间：2020-05-19 01:50:20

解答

∵β∈(0,1)∴βx∈(0,x)又∵f（0）=f '（0）=f ''（0）=f '''（0）=f (4)（0）=……=f(n-1)（0）=0根据柯西中值定理,有f（x）/x^n＝［f（x）－f（0）］/（x^n－0^n）＝f '（βx）/nβ^(n-1)又根据柯西中值定理,有[f...