x²+y²+1≤2x+2y变形为，x²-2x+1+y²-2y+1≤1，（x-1）²+（y-1）²≤1，而（x-1）²≥0，（y-1）²≥0，
可得以下几种情况：

x−1＝0 y−1＝0

或

x−1＝±1 y−1＝0

或

x−1＝0 y−1＝±1

故x+y的值有2，3，1三种情况
故应选：C．