∵5＜|x-3|-|x+m|＜|x-3-（x+m）|，∴|3+m|＞5，解得m＞2或m＜-8．
∴实数m的取值范围为（-∞，-8）∪（2，+∞）．
故答案为（-∞，-8）∪（2，+∞）．