如右图所示：过A作AE⊥BC，AF⊥CD于F，垂足为E，F，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵AD∥CB，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵纸条宽度都为1，
∴AE=AF=1，
在△ABE和△ADF中

∠ABE＝∠ADF＝α ∠AEB＝∠AFD＝90° AE＝AF

，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形．
∴BC=AB，
∵

AE

AB

=sinα，
∴BC=AB=

1

sinα

，
∴重叠部分（图中阴影部分）的面积为：BC×AE=1×

1

sinα

=

1

sinα

，
故选：A．