2∫2xe^(-2x)dx=∫2xe^(-2x)d(2x)
3∫3xe^(-3x)dx=∫3xe^(-3x)d(3x)
分别令2x=t,3x=s
所以
∫2xe^(-2x)d(2x)=∫te^(-t) dt
∫3xe^(-3x)d(3x)=∫se^(-s) ds
积分区域都是0到正无穷,
所以这两个积分实际上是相等的,
而
∫te^(-t) dt
= -∫t d[e^(-t)] 利用分部积分法
= -t *e^(-t) +∫e^(-t) dt
= -t *e^(-t) -e^(-t) 代入上下限正无穷和0
=1
所以
2∫2xe^(-2x)dx+3∫3xe^(-3x)dx
=2∫te^(-t) dt
=2