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数学
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是否存在实数a,使函数f(x)=log
a
(ax
2
-x)在区间[2,4]上是增函数?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.
人气:274 ℃ 时间:2019-08-22 13:24:22
解答
设u(x)=ax
2
-x,显然二次函数u的对称轴为x=
1
2a
.
①当a>1时,要使函数f(x)在[2,4]上为增函数,则u(x)=ax
2
-x 在[2,4]上为增函数,
故应有
1
2a
≤2
u(2)=4a−2>0
,解得 a>
1
2
.…(6分)
综合可得,a>1.…(7分)
②当0<a<1 时,要使函数f(x)在[2,4]上为增函数,则u(x)=ax
2
-x 在[2,4]上为减函数,
应有
1
2a
≥4
u(4)=16a−4>0
,解得a∈∅.…(14分)
综上,a>1时,函数f(x)=log
a
(ax
2
-x)在区间[2,4]上为增函数.…(16分)
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