微分方程y″+6y′+9y=0的特征方程为：
λ²+6λ+9=0，
求解可得，λ_1，2=-3，
从而方程的两个线性无关的解为：e^-3x，xe^-3x．
由二阶齐次线性微分方程解的结构定理可得，
所求方程的通解为：
y=C₁e^-3x+C₂xe^-3x．
故答案为：C₁e^-3x+C₂xe^-3x．