应该是：We will be moving to a new house next month.
原因是这样的：
will be doing 意为 将来进行时,表示将来正在做某事；be going to do 将要做某事,一般默认= will do 为将来时.
一定要说区别的话：will 多为主观意识,例如,I 'll do sth ；而be going to do 为客观的,例如it is going to rain
一般leave 、move之类的,我们不用 be going to结构,但语法上并没有错.
will be leaving ,和will be moving是进行式表将来时的一种特殊语法情况.