P为矩形ABCD内的一点,且PA=2,PB=3,PC=4,则PD的长等于多少?
人气:176 ℃ 时间:2019-09-09 18:32:16
解答
过P作EF∥AB分别交AD、BC于E、F,再过P作GH∥AD分别交AB、CD于G、H.
容易证得:PEAG、PGBF、PFCH、PHDE都是矩形.
∴AG=EP=DH、BG=PF=CH、AE=PG=BF、DE=PH=CF.
且∠EAG=∠FBG=∠EDH=∠FCH=90°.
设AG=a、BG=b、AE=c、DE=d.
由勾股定理,有:
a^2+c^2=PA^2=4、b^2+c^2=PB^2=9、b^2+d^2=PC^2=16、PD^2=a^2+d^2.
将a^2+c^2=4、b^2+d^2=16两式相加,得:(a^2+d^2)+(b^2+c^2)=20,
将b^2+c^2=9代入(a^2+d^2)+(b^2+c^2)=20中,得:(a^2+d^2)+9=20,
∴a^2+d^2=11,∴PD^2=a^2+d^2=11,∴PD=√11.
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