两人的本数和：5+19=24（本）；
当弟弟的课外书是哥哥的2倍时，哥哥的本数：24÷（2+1）=8（本）；
哥哥给弟弟的本数：19-8=11（本）．
答：哥哥给弟弟11本后，弟弟的课外书是哥哥的2倍．