999.
1999^n-1=（1999-1）*（……）一定是1998的倍数,-999n一定是999的倍数,那1999^n-999n-1一定是999的倍数,而且当n=1的时候1999^n-999n-1=999,那m最大也只能是999.
我晕……那这么跟你说吧……
首先当n=1的时候1999^n-999n-1=999,对任意自然数n,m能整除1999^n-999n-1,那说明m最大也只能是999.
然后我们证明999确实是能整除1999^n-999n-1的,其中-999n这一项明显能被999整除,还剩1999^n-1.然后这个a^n-b^n是可以变形的,a^n-b^n=(a-b)*[a^(n-1)+a^(n-2)*b+a^(n-3)*b^2+...+a*b^(n-2)+b^(n-1)],这个式子看起来很复杂,其实可以一项项消掉,所以不难记,而且我觉得你很可能知道……然后就有1999^n-1=(1999-1)*(……)=2*999*（……）,后边的那个括号具体是什么无关紧要,反正是个整数,于是1999^n-1也是999的倍数（任意的n）,那1999^n-999n-1就一定是999的倍数,所以m=999.