∫dx*(secx)^2
=∫dx/(cosx)^2
=∫dx[(sinx)^2+(cosx)^2]/(cosx)^2
=∫(sinx)^2/(cosx)^2dx+∫dx
=∫sinx(-d(cosx))/(cosx)^2+x+C
=x+C-∫sinx*(-2+1)*d(cosx)^(-2+1)
=x+C+∫sinxd(1/cosx)
=x+C+sinx/cosx-∫1/cosx*dsinx
=x+C+tanx-∫1/cosx*cosx*dx
=x+C+tanx-∫dx
=x+C+tanx-x
=tanx+C