已知椭圆C;x^2/4+y^2=1,过直线L:x=4√3/3上任意一点M引椭圆C的两条切线,切点为A、B.
(1)求证:直线AB恒过一定点.
人气:254 ℃ 时间:2020-06-26 17:32:15
解答
假设M坐标是:(xM,yM)=(4√3/3,y0)
A坐标是(xA,yA)
B坐标是(xB,yB)
那么AM的方程为(参看椭圆切线方程)
(xA/4)*x+yA*y=1
BM的方程为
(xB/4)*x+yB*y=1
两直线都经过M
所以,可以把M的坐标代进去,得到
(xA/4)*xM+yA*yM=1
(xB/4)*xM+yB*yM=1
构造一个直线方程:(xM/4)*x+yM*y=1,由上面的方程组可知,(xA,yA),(xB,yB)都是这个方程的解,所以,该直线通过A、B,AB的方程就是它
代数落实,AB方程为
x/√3+y0*y=1
当y=0,x=√3时,此方程一定成立
所以AB必定经过(√3,0)这一点.
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