> 数学 >
已知二次函数f(x)满足f(-2)=0,且2x≤f(x)≤
x2+4
2
对一切实数x都成立.
(1)求f(2)的值;
(2)求f(x)的解析式;
(3)设bn=
1
f(n)
,数列{bn}的前n项和为Sn,求证:Sn>
4n
3(n+3)
人气:263 ℃ 时间:2020-04-12 07:13:31
解答
(1) ∵2x≤f(x)≤
x2+4
2
对一切实数x都成立,
∴4≤f(2)≤4,∴f(2)=4.
(2) 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
∵f(-2)=0,f(2)=4,
4a+2b+c=4
4a-2b+c=0
,可得
b=1
c=2-4a

∵ax2+bx+c≥2x,即ax2-x+2-4a≥0恒成立,
∴△=1-4a(2-4a)≤0⇒(4a-1)2≤0,
a=
1
4
,c=2-4a=1

f(x)=
x2
4
+x+1
.…(7分)
(3)证明:∵bn=
1
f(n)
=
4
(n+2)2
>
4
(n+2)(n+3)
=4(
1
n+2
-
1
n+3
),
∴Sn=b1+b2+…+bn>4[(
1
3
-
1
4
)+(
1
4
-
1
5
)+…+(
1
n+2
-
1
n+3
)]=4×(
1
3
-
1
n+3
)=
4n
3(n+3)
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