对于任意整数i,有
（1+2+3+.+i)²
= ( (1+2+3+.+(i-1)) + i )²
= (1+2+3+.+(i-1))² + 2i(1+2+3+.+(i-1)) + i²
因为前n项和公式1+2+3+.+n=n（1+n)/2,代人,继续整理
= (1+2+3+.+(i-1))² + 2 i ( i(i-1)/2 ) + i²
= (1+2+3+.+(i-1))² + i ³
所以
（1+2+3+.+i)² - (1+2+3+.+(i-1))² = i ³
对i依次取1到n,列出各个等式,
1² - 0² =1 ³
（1+2)² - (1)² = 2 ³
（1+2+3)² - (1+2)² = 3 ³
............
（1+2+3+.+n)² - (1+2+3+.+(n-1))² = n ³
各个等式左右两边同时相加,相同项消去,得
（1+2+3+.+n)² - 0² = 1³+2³+3³+.+n³
即
（1+2+3+.+n)² = 1³+2³+3³+.+n³