b2+c2-a2 |
2bc |
∵a,b,c是有理数,b2+c2-a2是有理数,分母2bc为正有理数,又有理数集对于除法的具有封闭性,
∴
b2+c2-a2 |
2bc |
∴cosA是有理数.
(2)①当n=1时,显然cosA是有理数;
当n=2时,∵cos2A=2cos2A-1,因为cosA是有理数,∴cos2A也是有理数;
②假设当n=k(k≥2)时,结论成立,即coskA、cos(k-1)A均是有理数.
当n=k+1时,cos(k+1)A=coskAcosA-sinkAsinA,cos(k+1)A=coskAcosA-
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
解得:cos(k+1)A=2coskAcosA-cos(k-1)A
∵cosA,coskA,cos(k-1)A均是有理数,∴2coskAcosA-cos(k-1)A是有理数,
∴cosA,coskA,cos(k-1)A均是有理数.
即当n=k+1时,结论成立.
综上所述,对于任意正整数n,cosnA是有理数.