（1）首先H(X)表达可能有错,我认为应是 H(X)=2X^2+3X-1；
分别以实数M、N将F(X)、G(X)组合,令：H(X)=M*(X^2+AX)+N*(X+B)=MX^2+(MA+N)*X+NB；
将所给H(X)代换后有：2X^2+3X-1=MX^2+(MA+N)X+NB；
对比等式两端X的系数可得：M=2,MA+N=3,NB=-1；
由上列前二式导出N=3-2A,代入上列第三式有：(3-2A)*B=-1,故 A=3/2+1/(2B)；
所以 A+2B＝3/2+1/(2B)+2B；
由算术平均数不小于几何平均数,知上式右端后两项的和 1/(2B)+2B≧2*√((1/(2B))*(2B))=2；
所以 A+2B≧3/2+2=3.5；
（2）按说明定义的基成函数关系：H(X)=M*F(X)+N*G(X)；
H(X)=M*(㏒₄(4^X+1))+N*(X-1)——①；
若要H(X)为偶函数,则H(X)=H(-X),即有：
M*㏒₄(4^X+1)+NX-N=M*㏒₄(4^(-X)+1)+N*(-X)-N,
合并同类项：M*(㏒₄((4^X+1)/(4^(-X)+1)))+2NX=0,
化简得：MX+2NX=0,即N＝－M/2——②；
{当H(X)有极小值时,因X可以是任意数,所以应有 H'(X)＝0,为初级化,不利用此条件.}
将N=-M/2代入H(X)式①中：H(X)=M*(㏒₄(4^X+1))-M(X-1)/2=M*{㏒₄(4^X+1))-㏒₄(4^((X-1)/2))}；
即H(X)=M*{㏒₄[(4^X+1)/(4^((X-1)/2))]}；
对数有最小值对应其真数有最小值,即(4^X+1)/(4^((X-1)/2))有最小值；将该真数变换如下：
(4^X+1)/(4^((X-1)/2))=4^((X+1)/2)+1/4^((X-1)/2)=4^((X+1)/2)+4/4^((X+1)/2),
根据两数算术与几何平均数关系,上式有极小值≧2*{√[(4^((X+1)/2))*(4/(4^((X+1)/2)))]}=4,
因此H(X)最小值＝M*㏒₄(4)=M,
由于已知H(X)最小值等于1,即：M=1,所以M=1；再由②式可得N=-1/2；
将M、N值代入①式即可写出：H(X)=M*(㏒₄(4^X+1))+N*(X-1)=㏒₄(4^X+1)－X/2+1/2.