作三边的中垂线，交点P肯定是其中之一，以B为圆心，BA为半径画圆，交AC的中垂线于P₁、P₂两点，作△P₂AB、△P₂BC、△P₂AC，它们也都是等腰三角形，因此P₁、P₂是具有题目所说的性质的点；
以A为圆心，BA为半径画圆，交AC的中垂线于点P₃、P₃也必具有题目所说的性质．
依此类推，在△ABC的其余两条中垂线上也存在这样性质的点，所以这些点一共有：
3×3+1=10个．

故选：C．