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数学
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若抛物线y=ax
2
-1上总存在两点关于直线x+y=0对称,则实数a的取值范围是( )
A.
(
1
4
,+∞)
B.
(
3
4
,+∞)
C.
(0,
1
4
)
D.
(
1
4
,
3
4
)
人气:305 ℃ 时间:2020-04-25 11:22:47
解答
设抛物线上关于直线l对称的两相异点为P(x
1
,y
1
)、Q(x
2
,y
2
),线段PQ的中点为M(x
0
,y
0
),设
直线PQ的方程为y=x+b,由于P、Q两点存在,
所以方程组
y=x+b
y=a
x
2
−1
有两组不同的实数解,即得方程ax
2
-x-(1+b)=0.①
∵△=1+4a(1+b)>0.②
由中点坐标公式可得,x
0
=
x
1
+
x
2
2
=
1
2a
,y
0
=x
0
+b=
1
2a
+b.
∵M在直线L上,
∴0=x
0
+y
0
=
1
2a
+
1
2a
+b,
即b=-
1
a
,代入②解得a>
3
4
.
故实数a的取值范围(
3
4
,+∞)
故选B
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