证明 f(x)∈[0,1],f(0)=0,f(1)=1,则存在ε1 不等于ε2∈(0,1),使得f'(ε1)f(ε2)=1证明 f_数学解答

如果f(x)=x,那么不存在这样的ε1 不等于ε2∈(0,1),使得f'(ε1)f(ε2)=1,因为此时总有f'(ε1)=1,而要f'(ε1)f(ε2)=1必须f(ε2)=1,从而ε2=1不在(0,1)内.
这样看来,问题少了条件。。。不算这个即f(x)不恒等于x, 即存在a∈(0,1), 使得f(a)≠a, 因此, [f(a)-f(0)]/a=f(a)/a与[f(1)-f(a)]/[1-a]中必有一个大于1（分f(a)>a与f(a)1, 从而0<1/f'(ε2)<1, 再由闭区间上连续函数的介值定理存在ε1≠ε2∈(0,1), 使得f'(ε1)=1/f'(ε2), 即ε1 f'(ε1)f'(ε2)=1. 之所以ε1≠ε2, 是因为, 如果f(a)>a, 则f'(ε2)=[f(a)-f(0)]/a=f(a)/a>1, ε2∈(0,a)1/f'(ε2)=a/f(a)a与f(a)1, 从而0<1/f'(ε2)<1, 再由闭区间上连续函数的介值定理存在ε1≠ε2∈(0,1), 使得f(ε1)=1/f'(ε2), 即 f(ε1)f'(ε2)=1. 之所以ε1≠ε2, 是因为, 如果f(a)>a, 则f'(ε2)=[f(a)-f(0)]/a=f(a)/a>1, ε2∈(0,a)1/f'(ε2)=a/f(a)